Al-Kashi, Mathématicien d'Exception

Peinture, Musée de l'Observatoire

L'homme

Al-Kashi est né vers 1380, à Kashan (Iran). C'est là, malgré la pauvreté et l'époque troublée, qu'il fait ses premières observations astronomiques (éclipse de lune, 1406) et rédige ses premiers ouvrages sur ce thème(1407). Il s'occupe aussi de géodésie, déterminant les longitudes de 506 localités, dont 381 peuvent être considérées comme exactes: compte tenu qu'il ne peut effectuer seul toutes les mesures, et s'appuie sur les données de correspondants aux compétences variables, le résulat n'est pas si mauvais... Vers 1420, il est invité à Samarcande par Ulugh-Beg, à l'initiative de Quadi-Zadé Rumi: c'est le début d'une collaboration que seule sa mort, en 1429, interrompra.

L'astronomie a fait de lui un ingénieur (il donne des descriptions d'instruments astronomiques, ou des indications pour les réaliser) et un mathématicien (difficile de se passer de trigonométrie!). Mais il est aussi un précieux observateur de la vie scientifique à Samarcande, et donc, pour nous, un témoin de première main: sa correpondance avec son père, demeuré à Kashan, est parvenue jusqu'à nous, soigneusement datée.

" Sa Majesté elle-même est versée dans les Sciences, et les savants sont légion ici..."

"A l'heure actuelle, la plus grande parie des bâtiments de l'observatoire est construite; une sphère armillaire a déjà été réalisée. D'autres instruments sont déjà construits, comme un quadrant azimutal, un instrument à viseur mobile..."

Certes, il s'y montre très conscient de sa valeur, quand il écrit que seuls Ulugh-Beg et Quadi-Zadé Rumi lui semblent capables de soutenir la discussion scientifique avec lui... Mais est-ce très loin de la vérité?

Il est le dernier grand mathématicien du monde musulman: au décès d'Ulugh-Beg, une phase de déclin commence, et les restes de l'équipe mathématique de Samarcande se retrouvent à Istanbul... ce qui aura tout de même une utilité: favoriser le transit vers l'Europe, alors très en retard, de toute la science du monde arabe!

Les écrits

Parmi ces quelques repères, figurent en gras les oeuvres "majeures".

1407: La Voie du Paradis (Sullam Al-Sama): étude critique des difficultés rencontrés par ses prédécesseurs astronomes.
1410: Compendium de Sciences Astronomiques.
1416: Le Plaisir des Jardins (Nuzhat al-Hada'iq): il y décrit notamment une "plaque céleste", ou équatoire, engin géométrico-mécanique destiné à calculer les positions des planètes.
1424: Traité de la Circonférence ( al-Risala al-Muhitiyya): il contient, bien sûr, le célèbre calcul de pi.
1427: La Clef de l'Arithmétique (Miftah al-Hisab): contrairement à ce que son titre pourrait laisser penser, cet ouvrage pédagogique ne se limite pas à l'Arithmétique, au sens où nous l'entendons. Elle y est certes présente, par exemple avec le triangle dit (aujourd'hui!) de Pascal (1623-1662), qu'Al-Kashi tient d'al-Samawal (1130-1180), mais déjà connu d'al-Kharadji (953-1029), plus anciennement encore en Chine. Mais il y a aussi de l'Algèbre, de la Géométrie, entremêlés de nombreuses formules pour le calcul numérique: aires, volumes, racines n-èmes, valeur de pi, calcul des éléments d'un triangle... Bref, il s'agit d'un traité dont la vocation est encyclopédique (contenir tout ce qui peut être utile, un "handbook" en quelque sorte, ainsi qu'un "état de l'art") et qui mélange compilation des prédécesseurs et innovations personnelles.

Exemple d'un problème pratique: tracé d'un dôme

????: Epitre de la Corde et du Sinus : cet ouvrage précieux a hélas été perdu... il n'est connu qu'à travers un commentaire des tables trigonométriques d'Ulugh-Beg. Il recèle le fameux calcul du sin(1°).

S'y ajoutent des tables astronomiques, les Zij al-Khaqani, dédiées à Ulugh-Beg ; elles contiennent une table des sinus à quatre places sexagésimales, avec des entrées de minute en minute d'angle. Par ailleurs il est certain que les tables d'Ulugh-Beg sont le fruit d'une étroite collaboration entre les deux hommes.

Al-Kashi enseignant la Géométrie (peinture murale, musée de l'Observatoire)

L'oeuvre mathématique

Là encore, en nous limitant à l'essentiel:

l'invention des fractions décimales: si le vrai précurseur est al-Samawal dans son livre al-Qiwami fi al-Hisab al-Hindi (1172), c'est al-Kashi qui en donne le premier exposé systématique, à la fois théorique (en montrant l'analogie entre ce nouveau système et l'ancien, sexagésimal, hérité des Babyloniens et transmis par les Grecs) et pratique: il donne l'exemple de la conversion de l'un à l'autre pour son calcul de pi. Ses disciples suivront, et elles parviendront à Vienne en 1562 sous l'appelation... "fractions des Turcs"!
l'extraction des racines n-ièmes: al-Samawal a montré la voie, en calculant une racine cinquième par une méthode qui anticipe l'algorithme de Ruffini-Horner (Ruffini 1804, Budan 1807, Horner 1819). Brièvement dit, c'est un calcul décimale par décimale, en retransformant l'équation algébrique par translation. Al-Kashi l'expose dans la Clef de l'Arithmétique, où il donne l'exemple pour le nombre N = 44 240 889 506 197 pour une racine 5-ème. Mais il montre que le procédé s'applique à une racine n-ième pour tout n.

Al-Biruni et Al-Khayyam,
auteurs de tentatives perdues pour ce même problème.

le calcul de Pi: il ambitionne de donner une précision telle que "pour un cercle de 600 000 fois l'équateur terrestre, la précision sur la circonférence soit inférieure à l'épaisseur d'un crin de cheval!". Pourquoi 600 000 fois ? C'est tout simplement la taille qu'il assigne à l'équateur de la sphère des étoiles fixes, bref, la limite de l'Univers... Une estimation rapide montre qu'en mettant le crin de cheval à 1/2 mm, leur nombre pour "couvrir" ce cercle géant est entre les puissances 9 et 10 de 60: il lui faut donc un calcul à dix places sexagésimales exactes!

Grâce à la méthode d'Archimède (approximation du cercle par un polygone, ici à 8050306 368 côtés, évidemment "virtuel": on utilise une itération associée), il obttient, en écriture sexagésimale

Pi = 3;08,29,44,00,47,25,53,07,25

ce qu'il convertit en décimal

Pi = 3, 141 592 653 589 793 25

Le calcul est exact à 16 décimales (la 17-ème serait un 4 et non un 5, en arrondissant à cette précision, ou un 3, par défaut). Le pari est donc tenu, et fait de lui le premier à franchir la barre symbolique des 10 décimales! Un record qui s'inscrit entre celui du Chinois Zu Chongzhi (6 décimales, en 480) et celui de Romanus (15 décimales, en 1593): record durable!

le calcul de sin(1°): le "record" est dans le même esprit: 10 places sexagésimales! Mais la prouesse est plutôt d'anticiper la méthode des approximations successives avec près de 200 ans d'avance sur Kepler (1618)!

timbre iranien commémorant le 600-ème anniversaire de sa naissance

Un autre site consacré à al-Kashi, avec divers liens.