Les battements d'un cœur sont, en régime normal, réguliers et périodiques... donc des candidats naturels à une analyse de Fourier. Mais dans certains cas d'émotions fortes, il peut y avoir d'importantes variations. Bien sûr, on peut toujours calculer une transformée de Fourier, mais avec quelle pertinence? Un calcul qui ne fait pas sens est un calcul inutile; or comment retrouver, inversement, l'aspect très localisé d'un bref passage à l'allure chaotique? L'analyse de Fourier, pour puissante qu'elle soit, a ses limites... sauf si, telle un phénix mathématique, elle engendre une nouvelle théorie qui prendra en charge cet aspect.

Vous aurez sûrement, à la date,   reconnu le héros... on a beau avoir des nerfs d'acier et un entraînement exceptionnel, on peut ne pas tout maîtriser à l'instant où l'on joue son destin dans une frêle boule au sommet d'une fusée pour une expérience qu'aucun homme n'a encore tenté... Alors, pour le plaisir, un petit rappel en images!

Revenons maintenant au bilan critique de l'analyse de Fourier: nul ne le dresse avec plus de pertinence que l'auteur des lignes qui suivent. Qui? Quand?
Patientez jusqu'à la citation suivante pour le savoir!

"Pratiquement, pour évaluer le degré de complication d'une fonction intervenant dans un système de transmission, on procède à son analyse harmonique, c'est-à-dire qu'on la décompose en composantes sinusoïdales, sous forme de série ou d'intégrale de Fourier. Une fonction s(t) est ainsi considérée de deux points de vue différents : a) du premier point de vue, on considère la fonction directement ; à chaque valeur de t est associée une valeur de s; et la fonction est d'autant plus compliquée que la courbe représentative exprimant s en fonction de t présente plus de variations. Dans le cas de signaux acoustiques, ce premier point de vue est assez difficile à préciser ; dans le cas de signaux télégraphiques au contraire, constitués par une serie de creneaux de même largeur et de même hauteur, on voit facilement qu'une fonction est d'autant plus compliquée que l'on peut loger davantage de créneaux dans un intervalle de temps donné. b) du deuxieme point de vue, on considère la fonction comme composée de la superposition de fonctions sinusoïdales, différant par leur amplitude et leur phase. La fonction est d'autant plus compliquée qu'elle contient davantage de composantes sinusodales d'amplitude appréciable. Ce deuxieme point de vue est intéressant pour l'etude des distorsions ; si, en effet, le signal est transmis à travers un systeme distorsif qui supprime certaines composantes sinusoîdales, il y a dans cette déformation une perte d'information que l'on peut évaluer."

Ceci posé, il va oser critiquer ce magnifique système. Et d'une critique simple, de bon sens, qui peut venir à l'esprit de chaque lecteur de notre page d'introduction musicale... Dès son début, nous y avions montré comment différencier le timbre de deux instruments jouant la même note: l'analyse de Fourier mettait en évidence des spectres différents, c'est à dire des composantes sinusoïdales différentes, comme le rappellent les imagettes ci-dessus, extraites de cette page. Mais que va-t-il se passer à l'exécution d'un morceau complet?

Un Défaut Congénital

Jean Ville (1910-1989), normalien, élève d'Émile Borel, est considéré par Yves Meyer (qui a tiré ses travaux de l'oubli en se faisant historien de la théorie des ondelettes, dont on parlera plus loin), comme un pionnier de l'analyse temps-fréquence qui prolonge celle de Fourier. Et que les musiciens pratiquent naturellement, à la façon d'un Monsieur Jourdain usait de la prose: pour le dire grossièrement, tant que vous avez des partitions sous les yeux, le temps décrit un axe horizontal (du début à la fin du morceau), et la notation de la musique revient à considérer un axe des fréquences vertical, puisqu'à chaque instant on fait entendre la fréquence d'une note.

L'exemple ci-dessus est simple -comme celui d'un tracé de fonction en mathématique: une seule hauteur par abcisse de temps. On peut corser le jeu, en proposant une dictée musicale à plusieurs voix: la noter, c'est faire une analyse dans le plan temps-fréquence!   Le premier à avoir fait l'analyse temps-fréquence d'un signal compliqué pourrait donc être, bien avant Gabor, Morlet, Meyer et Daubechies (dont cette page va vous parler) ... le petit Wolfgang Amadeus Mozart, alors âgé de 14 ans et reconstituant après deux auditions seulement la partition du Miserere d'Allegri dont les papes avaient interdit, un siècle durant, qu'elle fût éditée, pour leur en garantir l'exclusivité (l'œuvre n'était éxécutée que durant la semaine sainte). Un peu de science musicale, d'astuce, d'organisation peuvent faciliter l'exploit, comme l'indique judicieusement cet article; mais pour nous, qui nous intéressons aux précurseurs de l'analyse temps-fréquence plus qu'à  l'exhibation de phénomènes de foire, c'est sans importance! Seule compte la date: 1770. (l'écouter par Ars Nova Copenhagen)

le plan temps-fréquence du Miserere (Wikipedia)

Du Côté de chez Gabor...

Reprenons le discours de Ville exactement là où nous l'avons laissé: il va nous présenter lui-même le premier à avoir fait un pas important dans la généralisation de la décomposition de Fourier:


Vous aurez reconnu, dans la première intégrale, la transformée de Fourier du signal, et dans la deuxième, sa transformée inverse. Mais prenons le temps d'aller à la rencontre de Gabor, avant  d'étudier ce qu'il propose: il ne faudrait tout de même pas oublier la vocation de promenade des pages que vous lisez!

De Budapest au Prix Nobel 

Voici la maison où est né, le 5 juin 1900,  Dénes Günszberg à Budapest, au 25, Rippl Rónai Utca,  tout près de la bien connue Place des Héros. Deux ans plus tard, la famille changera son nom en Gabor.

Les Gaborettes entrent en scène

On remarquera tout d'abord le titre de l'article de Gabor, deux ans avant celui de Shannon: on sent bien, à travers ce choix, quel était LE problème de l'époque:! Et Gabor y revient dès son introduction: transmettre l'information dans les meilleures conditions possibles, et pour cela rechercher une allocation optimale des fréquences... Il est également symptomatique de constater qu'il fait référence aux mêmes prédécesseurs que Shannon: Nyquist (1924), Hartley (1928).

Tout cela doit s'accompagner, comme dans le cas de la transformation de Fourier, d'une formule de reconstruction du signal à partir de la transformée.;; et ça marche!

On n'en sera pas trop surpris: sous de bonnes hypothèses, le signal peut être reconstruit à partir des fréquences seules, par la formule d'inversion de Fourier. Or, on a ici un paramètre de plus, b, en sorte que l'information obtenue par la transformée de Gabor est, très certainement, redondante. Et cette formule n'a rien d'enthousiasmant pour une reconstruction numérique rapide...
Gabor en était bien conscient, qui pensait pouvoir se restreindre à une famille dénombrable

correspondant à son pavage du plan temps-fréquence, et débouchant sur une formule de reconstruction du type série de Fourier -mais avec un double Σ .
L'idée était de choisir un "bon réglage" des paramètres b et c; malheureusement, on passait sans transition d'un système redondant à un système ne permettant pas de représenter tous les signaux.

L'emploi de la gaussienne n'a rien d'obligatoire, et certains successeurs essaieront d'autres choix.On pourrait d'ailleurs se dire: mais pourquoi pas un simple créneau, une fenêtre bien rectangulaire... comme dans les maisons?
Il y a une raison technique: la brusque discontinuité ainsi occasionnée produirait d''importants "parasites" dans le spectre (on parle alors d'artefacts), ce qui irait évidemment à l'encontre du but poursuivi. Il y a intérêt à ce que la fonction de fenêtrage possède une bonne régularité.

[ Lire l'article de Gabor: Theory of Communication en entier ]

Un Petit Tour en Ville

Cité en introduction, Jean Ville est lui aussi, en 1947 (il date son article du 01/09/1947, mais il paraît en 1948), à la recherche d'une analyse temps-fréquence d'un signal; son résumé introductif l'annonce sans ambiguïté

De Morlet (1982) au Prix Abel (2017): le Triomphe des Ondelettes

Le pétrole! Symbole à lui tout seul de la réussite made in U.S.A... En échange du rêve, que ne ferait-on pas pour en trouver? All right, commençons par le rêve...

Morlet dans la Tourmente

En 1983, Elf, alors société d'état, se trouvait dans la tourmente de la révélation médiatique (merci, comme souvent, au Canard Enchaîné) d'une escroquerie de grande ampleur, la tristement célèbre affaire des avions renifleurs. N'étaient les millions gaspillés (ceux des contribuables, mais c'est sans doute accessoire... et puis, c'est une habitude, non?), l'affaire avait des côtés cocasses: les escrocs, prétendant avoir mis au point un dispositif repérant depuis le ciel des gisements de pétrole, avaient dupé entre 1975 et 1979, non seulement les plus hauts dirigeants de l'entreprise, mais un président de la République ancien polytechnicien et un premier ministre réputé "meilleur économiste de France". Deux chocs pétroliers (1973: guerre du Kippour et menace d'embargo des pays arabes; 1979: Révolution Iranienne) avaient fait baisser la garde aux plus méfiants: il fallait trouver, et vite, de nouveaux gisements moins sensibles du point de vue de la géopolitique... Le moment était-il bien choisi pour proposer des camions-vibrateurs? camion vibrateur: la partie marteau, entre les roues, envoie des secousses ryhtmées dont on mesure les ondes réfléchies.

	La technique existait déjà depuis les années 1960, et reposait sur un principe simple: des couches géologiques différentes réagissent différemment à des ondes faisant vibrer le sol. Il n'y avait donc plus qu'à analyser le faisceau d'ondes réfléchies et le "faire parler" pour connaître les zones où la probabilité de présence d'hydrocarbures était la plus forte. " Pierre Goupillaud, collègue et ami de Morlet, était lui aussi un ingénieur français, ancien élève de l'École des Mines. Il s'expatria aux États-Unis et travailla pour la compagnie pétrolière Conoco (aujourd'hui ConocoPhillips), dans le secteur de la géophysique. Goupillaud suggéra d'envoyer dans le sous-sol une vibration, courte et modulée en fréquence, au lieu de faire exploser des charges. L'énergie dépensée et les dégâts occasionnés sont alors réduits. Ce même principe est utilisé par le sonar de la chauve-souris. La vibrosismique était née." Y. Meyer, Hommage à Jean Morlet in La Jaune & la Rouge (revue des anciens de l'X)	Jean Morlet (1931-2007), en 2001
Une technique plus... terre à terre, plus longue bien sûr (ce qui a dû favoriser le potentiel de séduction d'une solution aérienne). Ancien polytechnicien, ingénieur chez Elf, Jean Morlet travaillait sur l'analyse des données recueillies. Car la réalité était nettement plus compliquée que le principe:  si les charmants petits schémas explicatifs se limitent à 2 ou 3 couches, il y en avait au moins une centaine dans chaque portion de sol étudié; sans doute l'information cherchée était-elle dans les signaux reçus, mais presque aussi bien enfouie que le pétrole dans le sol! Yves Meyer aime à rappeler que les 15 nuits de 1986 où des camoins vibrateurs ont sillonné Paris ont donné lieu à une année entière de travail d'exploitation des données... Mais Morlet avait une idée pour atttaquer le problème:

Ainsi la sismique, après avoir donné un sérieux coup de pouce à la naissance de la F.F.T. (si vous avez oublié... revoyez notre page dédiée!),  allait contribuer à ouvrir un nouveau chapitre de l'analyse harmonique. En connaisseur des méthodes de Gabor, Morlet formula une critique à leur encontre: la forme de l'enveloppe restait immuable. Selon lui, il fallait plutôt disposer d'une enveloppe plus ou moins grande, selon la briéveté ou la longueur de la transitoire à représenter sans une portion du signal.

• Il garda donc l'idée de la translation, et celle d'une fonction analysante d'aire nulle,  oscillant et tendant rapridement vers 0 à l'infini.
• Mais aux oscillations de plus en plus rapides, il substitua l'idée de dilatation ou de compression dans la direction horizontale. Autrement dit, le même nombre d'oscillations, mais plus ou moins étirées.
  

Il créa donc une "petite onde", ou ondelette dont toutes se déduiraient: l'ondelette-mère. Une bonne candidate se trouvait chez Gabor, en fixant à son goût l'oscillation:
                  Pour la placer au voisinage de b, on forme ψ(t - b); pour la dilater, on divise l'argument par un facteur a et l'on a toute la famille d'ondelettes


Comme chez Gabor, d'autres fonctions peuvent être utilisées, et, très rapidement, on vit les propositions (intéressantes!) se multiplier. Les formules  d'analyse donnant les "coefficients d'ondelettes" sont une simple généralisation de celles qui donnent les "coefficients de Gabor"
La reconstruction à l'aide d'une intégrale double reste tout aussi faisable, sous de bonnes hypothèses, mais elle n'intéressait guère Morlet, en raison de la lourdeur numérique qu'elle promettait -le problème a été soulevé dans le cas de Gabor. Il était donc à la recherche d'une reconstruction par sommation en série, analogue à celle des séries de Fourier:
avec l' idée plus précise qu'une "grille" de pas 2^m, m entier relatif, devait suffire. Un choix obtenu par tâtonnements, mais sous l'influence forte de la règle d'échantillonnage de Shannon!
N.B.: ce sont les ψ_{a , b} précédentes, avec a = 2^m, b = n, les indices ont été modifiés pour alléger; et l'on a écrit les coefficients sous forme de produits scalaires  pour maintenir l'analogie la plus forte possible.

Mais tenait-on là une base orthogonale, susceptible -c'est évidemment essentiel- de représenter tous les signaux? Morlet, encouragé par ses essais numériques, l'espérait, sans en être pleinement sûr. Il fut d'emblée soutenu par son camarade de promotion Roger Balian (physicien): à sa demande d'aide, Balian répondit par... une bonne adresse. Quant à Elf...


 Elf, mal remise du traumatisme renifleur, était passée de l'excès de confiance à l'excès de méfiance :


20 ans plus tard encore, quelqu'un chez Total (à qui Elf est maintenant rattachée) a rendu hommage à ce génial créateur...

L'Envol

Formé à l'Analyse harmonique ("les séries trigonométriques, mes premières amours en maths"), Yves Meyer était le mathématicien de la situation. Il sut, pour commencer, tirer parti d'un fléau, la queue à la photocopieuse... c'est dire ses dispositions!


Meyer pensait qu'il n'y avait pas d'ondelettes orthogonales et indéfiniment dérivables: il essaya donc de le démontrer et, en échoaunt, construisit contre son gré la première du genre! Il fut bientôt rejoint par Ingrid Daubechies qui donna des moyens algorithmiques performants d'en construire beaucoup, notamment "à support compact", c'est à dire nulles hors d'un intervalle donné -un rêve d'abord considéré comme inaccessible. Puis Stéphane Mallat apporta un virage essentiel en les appliquant à l'analyse d'images, ou, plus exactement, en unifiant des approches séparées de domaines jusque là "étanches" ; le témoignage d'Yves Meyer est, une nouvelle fois, plein d'intérêt:


En à peine 15 ans furent obtenus à la fois des résultats mathématiques fouillés et des algorithmes efficaces, dont une F.W.T, Fast Wavelet Transform, prête à prendre le relais de la F.F.T. dans les applications. Quant à Stéphane Mallat, il a écrit un livre de référence (voir la bibliographie) et assure au Collège de France un cours sur les Approximations parcimonieuses (2020/21) dont les ondelettes sont les vedettes; ce cours est entièrement disponible en ligne sous formes d'une collections de vidéos, chacune pour un chapitre (durée 1h30).

Quelques Idées sur l'Efficacité des Ondelettes (en compagnie de Stéphane Mallat)

Comment ça marche? Pourquoi ça marche? L'objet de nos pages n'est pas de faire un cours sur les ondelettes, mais puisqu'il y est de coutume de mettre les mathématiques en images... pourquoi ne pas en extraire quelques unes, particulièrement évocatrices, du cours de Stéphane Mallat que nous venons d'évoquer. D'ailleurs, notre code couleur habituel vous l'indique, vous pouvez sauter si ça ne vous dit rien, et poursuivre sans encombre. Mais que risquez vous à y jeter un œil? BVous y trouverez plus de "petits mickeys" que de formules...

Des Ondelettes partout!

Les mots de Cédric Villani par lesquels s'ouvre notre page sur la FFT pourraient aisément se trouver ici paraphrasé en:  "Et les ondelettes servent à tout! ".

Les Gros Soucis du F.B.I.

Le village ensoleillé de Hvar, dans l'île éponyme, en Croatie. Sur une maison de pierre, une plaque en souvenir de celui qui est né ici

J.P.E.G. 2000

Créé en l'an 2000 pour remplacer le "vieux" standard JPEG lancé en 1992 (qui fait de la résistance dans nos appareils photos...), JPEG 2000 remplace la DCT par une compression  à bases d'ondelettes; c'est donc une application dans le même domaine et le même esprit que la précédente. En la présentant après, nous ne faisons que respecter leur ordre historique d'appartition!
À titre d'exemple, nous empruntons à cette page (EPFL, Lausanne) ces images les taux choisis sont volontairement "brutaux" afin de bien faire saisir les différences:


N.B. :  les effets de "crénelage" de l'approximation JPEG (c'est à dire, par transformation de Fourier) sont les analogues exacts, en dimension 2, du phénomène de Gibbs pour un signal à une variable. La comparaison entre les deux types d'images est donc similaire à ce que faisait voir Stéphane Mallat dans l'encadré ci-dessus, lorsqu'il comparait les approximations par somme partielle de Fourier et par somme d'ondelettes après seuillage des coeefficients.. 

El Niño

Ce courant chaud qui affecte les côtes péruviennes (avec d'importantes conséquences pour la pêche, car il éloigne les bancs de poissons) n'a commencé à faire l'objet d'études approfondies qu'à la fin du XX^ème siècle. Il est connu pour avoir des périodicités empiriquement évaluées à 2 et 7 ans, mais l'analyse statistique des températures de surface en mer ne tirait rien de probant; les résultats avec des transformées de Fourier à fenêtre glissante avaient tendance à dépendre... du choix du type de fenêtre! Les chercheurs ont commencé à y voir plus clair en analysant les données avec les ondelettes de Morlet: il ne s'agit pas ici de reconstruire le signal, seulement  d'étudier la répartition des puissances des différents "composants", mal recensés.

historique des températures de surface	transformation en ondelettes de Morlet
(source: cet article)

L'analyse en ondelettes y montre notamment que les périodes 2 et 7 ont été beaucoup plus marquées aus deux fins de siècle que dans la période intermédiaire; une périodicité "secondaire" 16 apparait également. Voir aussi cet article.

À la Découverte des Ondes Gravitationnelles

Le 14 Septembre 2015, à 11.51 (temps universel),  les deux détecteurs du dispositif LIGO (page bien plus précise en Anglais!), l'un en Louisiane, l'autre en Californie) enregistrèrent la trace d'un évènement qui s'était produit  long ago and far away, comme on dit aux USA: la collision de deux trous noirs, à 1.3 milliard d'années lumières de notre belle planète. (Vidéos explicatives sur le site: Culture Science Physique). Pourquoi deux détecteurs, et si éloignés? Pour essayer de retrouver, par sa forme, le même infime signal noyé dans un bruit qui lui était mille fois supérieur. L'éloignement décale son signal: si on trouve la même chose aux deux endroits, à deux moments différents, cela ne peut être fortuit! La précaution n'a rien d'un luxe: selon les spécialistes, de nombreux signaux "fortuits", qui n'ont rien à voir, dont certains purement numériques (i.e. sans source physique!) se feraient bien passer pour l'évènement tant attendu... Des détecteurs qui, soit dit en passant, sont des interféromètres de Michelson, ces engins qui fricotent si volontiers avec l'optique de Fourier et que nous avons déjà vus à l'œuvre dans plusieurs applications!
Cette découverte sera très rapidement couronnée par le Prix Nobel de Physique en 2017 accordé auxpèress du projet LIGO: Rainer Weiss, Barry C. Barish et Kip Thorne pour « leurs contributions décisives à la conception du détecteur LIGO et à l’observation des ondes gravitationnelles ».

localisation des détecteurs (source; LIGO, sur Wikipedia)
principe d'un interféromètre LIGO  (source: cette présentation; site du Prix Nobel)

Einstein avait prévu l'existence de ces ondes dans sa relativité générale (1916), mais personne n'avait pu en observer. Ces ondes ne sont pas des ondes électromagnétiques: la déformation de l'espace-temps engendrée va agir sur les immenses bras de l'interféromètre, donc sera détectée par un moyen détourné. D'ailleurs, si le dispositif est de nature à apprendre que l'évènement a eu lieu, il ne permet pas de savoir où! La mise à niveau (en sensibilité de détection) du laboratoire européeen VIRGO(à découvrir en images dans l'encadré bleu cidessous) en a fait un troisième détecteur sensible à de telles ondes, permettant désormais connaître le lieu par triangulation. (Si vous voulez en savoir plus sur la physique du phénomène et la détection, nous vous conseillons une excellente conférence de Thibault Damour, à Nantes, en 2016 -peu après l'annonce de la détection)

Les ondelettes ont été l'outil décisif pour résoudre la difficulté essentielle: détecter la signature caractéristique d'un signal d'une fraction de seconde seulement, et surtout noyé dans le bruit ambiant (plus de 1000 fois supérieur!) : un chirp. Après la musique des sphères, chère à Képler, le gazouillis des trous noirs!

exemple de chirp (source: article  de Wikipedia)	Première onde gravitationnelle détectée (source: cette présentation; site du Prix Nobel)

Vous pouvez entendre un exemple sonore sur Wikipedia, mais puisqu'il s'agit, au fond, d'un glissement continu de la fréquence, c'est à dire, musicalement, d'un glissando, prenez donc un exemple infiniment plus agréable: la célébrissime introduction, à la clarinette, de la Rhapsody in Blue de George Gerschwin! Et puisque 2017, c'est le prix Abel, mais 2018, le centenaire de Leonard Bernstein, faites une pause dans le plan temps-fréquence avec cette vidéo! (NewYork Philharmonic, 1976)

Buste d'Albert Einstein, sur sa maison à Prague. C'est là qu'il écrrivit les brouillons de la Relativité Générale.	Sergueï Klimenko

Le physicien Sergueï Klimenko a mis au point l'algorithme de détection victorieux, directement dérivé d'un algorithme de Stéphane Jaffard, élève d'Yves Meyer.


Et pour en savoir plus de sa bouche, suivez sa conférence à l'Université de Nantes, (2017): Ondes Gravitationnelles et Musique des Sphères, ainsi que sa conférence du prix Abel (ci-dessous)

Complément: en Visite dans un Détecteur d'Ondes Gravitationnelles, VIRGO   Le Mathouriste n'a pas vu de près les sites LIGO, mais il a eu le bonheur de visiter celui de leur homologue européen, VIRGO, à Cascina, près de Pise, à l'occasion d'un beau voyage organisé par l'Association Française d'Astronomie. Il s'agit d'un projet européeen, franco-italien à l'origine, conçu en 1992 et construit de 1996 à 2003, donc, parallélement à LIGO. Le Mathouriste n'a pas pu le survoler... mais il a pu prendre un étage de hauteur pour photographier la maquette au 1/1600ème présentée sur le site. D'autant que ses concepteurs l'ont doté d'un interféromètre de Michelson qui nous fait voir le principe (physique) de fonctionnement. La conception est exactement la même que celle de LIGO, si ce n'est que les deux bras mesurent chacun 3 km "seulement" (ceux de LIGO mesurent 4 km). Nous avons donc, ci-dessous, "surchargé" de quelques traits de couleur cette même image et celle du schéma de principe de LIGO, à peine modifié, pour vous aider à mieux saisir le fonctionnement.   Le faisceau laser émis en A (les repères figurent sur la maquette, ils ne sont pas un ajout personnel) part directement selon le tracé rouge, jusqu'au miroir qui le réfléchit;  la  lame séparatrice B dévie la moitié du flux lumineux selon le tracé jaune (dans l'autre bras), lui aussi réfléchi par le miroir en bout de bras. Dans ce trajet retour, après passage en B, qui cette fois réoriente à 90° le rayon "rouge" en laissant passer en ligne droite le rayon "jaune", les deux parviennent ensemble à l'écran, pour y former une figure d'interférence. Tous les éléments sont fixes, immobiles. Mais  lorsque l'espace-temps se déforme (comme une membrane de caoutchouc)... oublions, quitte à simpllifier grossièrement, les dimensions 3 et 4, et concevons qu'en particulier, le plan du dispositif se déforme: fixés au plan, les miroirs vont suivre cette (imperceptible!) déformation, la longueur que doit parcourir la lumière dans chaque bras changera (plus ou moins suivant la direction de propagation de l'onde)... et finalement la figure d'interférence. C'est la grande célérité de la lumière et la petitesse du déplacement des miroirs qui implique la nécessité de bras très longs pour enregistrer un événement significatif. En voici une version animée proposée par l'article VIRGO de Wikipedia Allons maintenant faire un petit tour dans un des deux bras: un regard à droite, un regard à gauche (remarquer la position du trottoir), fans les deux cas, il se perd dans le lointain! Une dame de petite taille (1,55m environ) a gentiment accepté de poser pour donner l'échelle. à droite de la porte à gauche de la porte Mais que verrait-on donc si on allait au bout? Pas besoin de faire la promenade, qui serait, convenons-en, quelque peu monotone! Le matériel est présenté dans le hall d'accueil: un miroir, et surtout l'imposant dispositif de suspension des miroirs, un superatténuateur de 8m de haut destiné à les isoler le plus possible des vibrations parasites de l'espace ambiant, et constitué d'une chaîne d'oscillateurs harmoniques (placée sous vide) destinée à filtrer les fréquences au dessus de 10Hz.  Et, conséquence de la recherche de vibrations de très faible amplitude, t il ne manque pas de sources sismiques parasites! Pour n'en citer que quelques unes: petits séismes ordinaires à peine perceptibles par les humains (On est en Italie, zone volcanique...) camions passant sur le pont au dessus d'un des tunnels (notre image ci-dessus) vagues et "marées" d'une Méditerranée à 20km de là... Même le courant alternatif  distribué au centre (forcément) crée une perturbation non souhaitée du signal, à 50Hz et harmoniques: 100Hz, 150Hz, 200Hz, etc.... s'avère  un gêneur, mais facile à éliminer puisque ses fréquences sont connues.   VIRGO n'eut d'abord pas de chance: c'est pendant son arrêt pour amélioration (2011-2017) que les deux détcteurs LIGO ont fait leur première découverte! Mais à la remise en service, le 01/08/2017, la chance est cette fois de son côté: deux semaines après, le 14/08 très exactement, VIRGO "voit" le même événement que ses homologues américains. Un peu plus faiblement, mais indiscutablement: source: Wikimedia Commons pour l'article VIRGO de Wikipedia On reconnaît, dans les images du milieu, le plan temps-fréquence cher à Jean Ville (voir plus haut), avec la figure caractéristique d'un chirp (augmentation rapide de la fréquence pendant un délai très bref): l'enregistrement le plus net est celui de Livingston, le moins marqué, celui de VIRGO. Nous n'avons plus qu'à aller faire un petit tour dans la salle de contrôle, où l'on surveille tout cela 24h/24... en fait, les vues ont été prises depuis la porte, afin de ne pas déranger l'équipe au travail. vue agrandie de l'écran le plus à gauche Liens relatifs aux détecteurs: LIGO sur Wikipedia VIRGO sur Wikipedia (article labelisé "de qualité") Site officiel deu projet VIRGO Détection interférométrique terrestre d'ondes gravitationnelles sur Wikipedia

Le Triomphe

En 2017 ont à la fois été attribués le Prix Nobel de Physique à pour la détection des ondes gravitationnelles et le Prix Abel à Yves Meyer "pour son rôle pivot dans le développement de la théorie mathématique des ondelettes". La presse, dans son ensemble, a donné à l'évènement un large écho, tant mieux! Voire même mis l'évènement à la une!
(peut-être le moment est-il opportun pour s'interroger sur ce curieux miroir déformant qu'est la presse: à la une, un évènement de portée mondiale, face à un vaudeville franco-français; une date gravée dans l'histoire des sciences, face à un remous oublié dans la quinzaine; un homme dont on se souviendra toujours et un quasi-inconnu... enfin, si c'est "pour emballer les poireaux le lendemain", comme la dit un autre grand homme...)

Le succès le plus récent des ondelettes était justement leur contribution à la découverte des ondes gravitationnelles, et ce fut le thème par lequel Yves Meyer ouvrit longuement sa conférence de remerciement. Oui, longuement, au point que le Roi de Norvège, à qui il avait donné la veille quelques explications sur ses travaux, lui avait déclaré:

C'est que rien n'illustrait mieux cette unité de la science si chère à Fourier: sans la théorie mathématique des ondelettes, pas de détection des ondes gravitationnelles! L'hommage au  père fondateur s'est fait encore plus vibrant par la reprise explicite d'une phrase énigmatiquement prophétique de la célébrissime préface:

"Si la matière nous échappe comme celle de l'air et de la lumière par son extrême ténuité, si les corps sont placés loin de nous, dans l'immensité de l'espace, si l'homme veut connaître le spectacle des cieux pour des époques successives que sépare un grand nombre de siècles, si les actions de la gravité et de la chaleur s'exercent dans l'intérieur du globe solide à des profondeurs qui seront toujours inaccessibles, l'analyse mathématique peut encore saisir les lois de ces phénomènes. Elle nous les rend présents et mesurables, et semble être une faculté de la raison humaine destinée à suppléer la brièveté de la vie et l'imperfection des sens; et ce qui est plus remarquable encore, elle suit la même marche dans l'étude de tous les phénomènes; elle les interprète par le même langage, comme pour attester l'unité et la simplicité du plan de l'univers, et rendre encore plus manifeste cet ordre immuable qui préside à toutes les causes naturelles.. " Fourier, Discours Préliminaire à la Théorie Analytique de la Chaleur (1822)

Fourier avait-il prévu les ondes gravitationnelles? Si génial soit-il, n'exagérons pas, ce serait le décrédibiliser. Mais ce qui apparaît comme certain, c'est la profonde confiance qu'il avait en l'outil mathématique qu'il avait créé -comme dans les développements ultérieurs qu'il pourrait recevoir- pour permettre à l'homme d'appréhender ce qui dépasse sa perception immédiate et les limites étroites d'une vie. Depuis 200 ans, cette vision du futur s'est montrée pertinente en des circonstances variées, et 200 ans après, elle brille d'un éclat nouveau en s'appliquant à l'aide apportée par le traitement numérique du signal à la prédiction faite par Einstein, à mi-chemin temporel du texte de Fourier et de cette découverte.

Vous trouverez la passionnante conférence de Meyer en vidéo, ainsi que celles des trois confrères qui l'entourent sur le cliché ci-dessous,  à cette page   The Abel Lectures 2017
ou directement: Abel laureate Yves Meyer, École Normale Supérieure Paris-Saclay: Detection of gravitational waves and time-frequency wavelets Stéphane Mallat, École Normale Supérieure: A Wavelet Zoom to Analyze a Multiscale World Professor Ingrid Daubechies, Duke University: Wavelet bases: roots, surprises and applications Professor Emmanuel Jean Candès, Stanford University: Wavelets, sparsity and its consequences D'autres vidéos et documents sont disponibles de puis la page d'accueil.	Les conférenciers, ou les trois mousquetaires des ondelettes: Stéphane Mallat, Yves Meyer, Ingrid Daubechies, Emmanuel Candès. (source: lettre d'infos du CMLA, Juin 2017)
" Cette brève introduction ne peut rendre justice à toutes les applications. Nous n'avons pas davantage tenté d'écrire l'histoire spécifique des ondelettes -mais elle serait essentiellement en Français." G. Strang, Wavelets and Dilatation Equations: a Brief Introduction (1989) Cet hommage d'un Américain est un bel écho à cette photo, et dédouanera de tout chauvinisme la légitime fierté d'une French Connection des Ondelettes, animée par ce que l'enseignement français a produit de meilleur: des chercheurs au top international. Précisons qu'Ingrid Daubechies est belge, et qu'Alex Grossmann, naturalisé français, est né à Zagreb, en Croatie.

Mais préféreriez vous entendre Yves Meyer en Français sur le même thème? Il a donné une conférence grand public (ce sont ses propres mots) à l'École Normale Supérieure (collection Savoirs ENS), le 27/09/2017. L'hommage à Fourier y est tout aussi vibrant, avec pour débuter la même fantastique citation (mais il est impossible de trouver plus beau et plus pertnent).  L'intérêt des ondelettes et le travail de Sergueï  Klimenko sont bien  mis en évidence... un régal, ne vous en privez pas! Vous ne verrez pas passer  les 45 mn  de la présentation...